Der junge Bassbariton erhielt seinen ersten Gesangsunterricht bei Sigrid Rennert in Bruck an der Mur. Anschliessend studierte er Gesang bei Prof. Karlheinz Hanser und in der Liedklasse von Prof. Florian Boesch an der Universität für Musik und darstellende Kunst Wien. Weitere künstlerische Impulse erhielt er von Ramon Vargas, Robert Holl und Elīna Garanča.

Auf der Opernbühne sang er den Masetto in Don Giovanni am Stadttheater Baden bei Wien, den Marchese in La Traviata bei den Festspielen Klosterneuburg, den Figaro in Le nozze di Figaro am Schlosstheater Schönbrunn, den Sprecher in Mozarts Zauberflöte auf einer Tournee des Teatro alla Scala in Shanghai sowie den Frank in der Fledermaus an der Deutschen Oper am Rhein in Düsseldorf.

Bis zur Spielzeit 2023/24 war er festes Ensemblemitglied am Staatstheater am Gärtnerplatz in München, wo er unter anderem den Sprecher in der Zauberflöte, Masetto und Leporello in Don Giovanni, Don Basilio in Il barbiere di Siviglia, Alidoro in La Cenerentola, Monterone in Rigoletto, Graf von Walter in Luisa Miller und den Frank in der Fledermaus sang.

Seine Konzerttätigkeit umfasst nationale und internationale Auftritte wie diverse Liederabende, Beethovens 9. Symphonie in Bangkok, Lissabon und im Großen Festspielhaus Salzburg, die Johannespassion von J. S. Bach und Händels Messiah im Wiener Konzerthaus, Mozarts Requiem in Deutschland, Mendelssohns Paulus im Goldenen Saal des Wiener Musikvereins und weitere Auftritte in Ländern wie Italien, Ungarn und Polen sowie zwei Auftritte bei den Open-Air-Konzerten „Klassik unter Sternen“ und „Klassik in den Alpen“ von KS Elīna Garanča im Sommer 2019.

In der Spielzeit 2024/25 ist Alexander Grassauer "Young Talet" des Konzerthaus Wien, wo er in verschiedenen Konzertformaten auftreten wird. Er kehrt als Gast ans Gärtnerplatztheater in München zurück, um unter anderem die Rolle des Dulcamara in Donnizettis Elisir d'amore zu übernehmen. An der Wiener Kammeroper wird er in der modernen Oper Der Prozess von Gottfried von Einem mitwirken. Die Saison beschließt er mit seinem Debut bei den Bayreuther Festspielen als Hermann Ortel in einer Neuinzenierung der Meistersinge von Nürnberg unter der Leitung von Daniele Gatti.

Alexander Grassauer ist Preisträger mehrerer internationaler Gesangswettbewerbe. Er gewann erste Preise beim Hariclea Darclée Gesangswettbewerb 2017 in Rumänien, beim internationalen Brahms Wettbewerb 2017, beim 24. Ferruccio Tagliavini Gesangswettbewerb und den zweiten Preis beim internationalen Wettbewerb für Liedkunst Hugo Wolf 2022 in Stuttgart. Außerdem gewann er den Preis für das beste Nachwuchstalent bei der 4th International Otto Edelmann Competition in Wien und den ersten Preis bei der Initiative Zukunftsstimmen von KS Elīna Garanča.